黑格尔全部哲学的发端在意识上。意识在活动着，这是无可辩驳的。同时，任何表象，或许看起来像是超出意识之外的，是自在之物。不过它们的存在全仰仗于意识。的确，我们会感觉到有个更广大更深沉的真实，但是“真实”不是真实，其之所以被呈现成意识以为的那样，完完全全出于意识的活动。认识到这一点后，意识便在表象中认识到它自身。这也就是所谓的辩证法，正反合。
因为认识活动，如上所述其实是意识对意识本身的活动。每一个反题都意味着对正题的扬弃，而两者都在意识之中，于是在“正”向“反”进化的阶段，意识感觉自己要被抛弃掉，感到一种害怕。这里出现了“情绪”。
在社会的各个方面也存在类似的辩证法。不过不知道黑格尔是怎么把辩证法移植过去的。他怎么处理他心问题？
2022.3.25

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（和尼采的无限肯定有某种类似。另外，这里的所有词都在最抽象的意义上使用）

• 否定、否定之否定、自否定是一体三面。否定如果要真正否定，必然否定一切。否定也就必然否定它自己，此所谓否定之否定。于是，否定和否定之否定等价。
• 肯定的自否定，就是说肯定之所以存在，必然是从否定中建立起来的：肯定既然是肯定，那它就不是它所不是的东西。于是否定包含于肯定之中；否定的自否定，就是说否定之所以存在，必然否定了肯定，而它自身既然存在——也就是某种肯定，于是否定包含了对自己的否定。总而言之肯定和否定实为同一，否定与自否定又是同一。这两种抽象（黑格尔用法的“抽象”）的自否定综合起来得到了一个具体的自否定概念，一个普遍的原则。
• 不知你阅读上述那段绕来绕去的陈述时，有没有这种想法：既然肯定绕回否定，否定绕回到肯定，它们是不是归根结底是一回事呢？的确，二者就是一回事，这是一种真正永恒的运动。
• 否定、肯定好像和内在、外在勾连了起来。

1. 不妨考察一下历史吧。怀疑论者怀疑一切，说“人是万物的尺度”、“我思故我在”，但他们却偏偏不怀疑怀疑本身。此时怀疑本身便被看作摆在那里，直接存在的，实际上成为一种“肯定”，“否定之否定”。
2. 这里实际就是意识本身的那个自否定，意识到了这回事，进入了所谓“知性的否定方式”。于是之前的否定被当作某种肯定的东西再次自否定。不过，自否定采取一种“外在”的方式，就是说它所否定的那个东西好像在外界，摆在那里，既定，消极，等待捕获，先天存在的，它还没意思到否定即是 自否定。
3. 自否定意识到了所有这些。生生不息，自在自为的自否定，获得一种本质性。

这里我有个小问题，就是为什么这个过程不立马完成呢？如果说这里有一个“过程”，那对于自否定来说好像是画蛇添足，因为有某种静止阶段，也就是肯定阶段。黑格尔可能的回答应该是一种无限肯定？就是说意识一俟意识到这个问题，便觉醒自己是自否定，是一种生生不息的活动，活动本身亦是活动。这很绕，不过并没有悖论。似乎靠着自否定学说我们明了了一切，但是这种“明了”状态马上就要被“明了”。任何存在的东西在这个过程中都要被推向最高层。这好像就是黑格尔想说的，纯然的否定拥有生生不息的力量。

否定之否定其实有点目的论的意思。因为目的就是一种必然。否定之否定绝对必然，否定之复归亦为必然。于是否定，整个广布弥散生生不息的否定便是必然，便是目的。老实说，必然和目的的区别似乎仅仅只是语词的区别，不过这语词的区别实在很有必要。因为目的既然是否定之否定，它本身就有一种否定自身的冲动，在更高的否定中存在的仍然是目的。目的自己看起来是相对静止的，却又激起了运动，全因这种性质，我们愿意称目的是那一以贯之的主体，或者毋宁说主体就是那自否定的否定。否定之否定的结果是目的复归于自身，其实也就是主体复归于自身。在这复归中主体又给主体带来源源不断的新东西。此所谓螺旋上升是也。

• 提请读者注意，千万别以为目的就这样绝对静止下来了。所有这些统统是言辞，仿佛数学里概念反复打包的操作。

我们想要发展另一套词汇，如上文所述我们籍由“否定”的概念建立了“目的”的概念，还说“目的”就是“主体”。我们当然还可以有“客体”的概念。“客体”自然应当与“主体”相对，既然相对，我们就设想它是那样一种非主体的东西——魔术即刻发生——它也开始了那否定之否定的永恒运动。不过看起来我们得到只是两个永恒运动，如何把它们勾连在一起呢？说实在的，没有办法。但是两个永恒运动，既然不发生关联，那就是静止，于是又回到了否定之否定那里来。这条路看来是走不通了，那么我们又该作何打算呢。应当这么想，一旦认识客体，主体就要去攫取客体，将那不动的客体纳入否定之否定运动中来。两种表述差别所在，就是前者看似是客观地看待问题，其实预设了一个并未察觉的“主体”；而后者真正是从主体出发，进行“否定之否定”。（再一次，我想说这真的很像尼采。说一条路之所以走得通全在于肯定——“让一切意志说‘是’”）

即使说到这个份上，否定之否定还是有被误解的危险。比如被误解为一种循环论。确实，甚至黑格尔本人都以其来解释一些循环过程，比如质变量变再质变的循环。然而，黑格尔这么讲，是为了揭开它们的面纱。如果事物显得像是循环，静止的，那么必然是非本质。辩证法能真正揭开这层面纱，直达那一以贯之的否定之否定，才算认识到了本质。一切中皆存在这种否定之否定，自然界与其说是连续的不如说的离散的，一切皆是飞跃。只不过某些时候飞跃得较小，我们愿意用“量”来表述罢了。
2022.3.26

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意识就是自我意识。为什么呢？意识始终活动，在感性思维阶段，它发现自己面前有一些感性直观物。此时意识还在一种物我不分的阶段，因为一旦它区分了“物”、“我”，就把杂多扬弃成为共相，进入了知性思维的阶段。在知性思维面前，一切好像都是恒久不变的规律王国的一份子。思维之所以能做从感性到知性的飞跃，全靠扬弃——也就是否定。否定是穿插在“规律王国”中间真正的普遍。一旦知性认识到这一点，认识到了“否定之否定”就是“规律王国的规律”，知性便飞升为理性。因为意识已经真正认识到了否定，这种否定如果不运用到意识自身就只是抽象的东西，不是真正的否定，而一旦运用到自身，意识也就自觉成为自我意识。

以追溯意识历程的方式揭示这点不是无的放矢，正因为意识虽然是“分析”地包含自我意识，这种“包含”要暴露处来要靠与意识本身的“综合”（形式逻辑里怎么用这个词的？这里可能有点运用不准），然后才成为真正的“分析”。

• 黑格尔对一些前理性的东西存在“遗忘”，不过在他自己的立场来看这种“遗忘”完全正当。

2022.3.27

等价的两种定义

以下确界示例

若有实数集$S$，$S$的下界的集合$\frak{S}$。我们称$infS$是它的下确界。当：

① $\forall M\in \frak{S}$，$infS\geqslant M$。

② $\forall\epsilon>0，\exist s\in S$，使得$infS+\epsilon>s$

这两个定义应该是一开始学数分接触的东西。今天看定积分的达布刻画的时候又碰到它了。问题是：若有一数列趋向于$a$，数列所有项成集合$S$，那么这个集合的确界同$a$有什么关系？答案是$infS\leqslant a$，$supS\geqslant a$。说实在话，其实这个答案的证明和等价定义并没有直接关系。结合数列的性质用反证就出来了。不过，它多多少少还是有点形式上的相似性。第一种定义再平常不过了：诸下界中最大者即为下确界。直观地想，就是下确界不能再往大处移了；其它下界或许能移一点点，下确界是一点也不能动——怎么表达这个“一点也不能动呢”。这个东西和“极限”有着类似的直观，那么，想采取和极限$\epsilon-\delta$语言类似的形式，来严格地刻画它，当然很自然了。
2020.3.24

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达布刻画

黎曼刻画是以 模(mesh) 为枢，直接利用极限刻画可积性；达布刻画则利用上达布和、下达布和、确界等概念，犹如上下两掌合一，刻画可积性。它们总体的思路都是无限分割函数“包裹”的小矩形，区别所在就在于“高”的选择。因为事实上并没有这么些小矩形，它们全出于人心的构造。黎曼随意选取“高”；而达布以最大最小值分别为高。除此以外，二者都是靠切细矩形得到确定值。对照看看，这岂不是很奇妙吗？随意选和选极值是一样的。或许我们可以说这是确界原理中体现的“极限性”？
$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n M(f,[x_k-x_{k-1}])(x_k-x_{k-1})$$
$$L(f,P)=\sum_{k=1}^n m(f,[x_k-x_{k-1}])(x_k-x_{k-1})$$

上者为上达布和，下者为下达布和。$M$，$m$表示的分别是函数$f$在某区间的最大、最小值。请注意，分划$P$到底是怎么分划，全看心情。所以你有无穷多的上下达布和，各划一集，因为归根结底它是数集，则必有上下确界,分别记为$U(f)$、$L(f)$。利用上下确界的定义就有$L(f)<U(f)$。

• 这里的形式和上下极限那里的证明法有种神秘的相似？

2022.3.25

直和是什么东西？

首先，我们说$V$的两子空间$A$,$B$的和$A+B$为$\{v_a+v_b$$|v_a\in A,$$v_b\in B\}$，然后$A+B$若为直和，则对于$\forall v\in A+B$，存在唯一的$v_a\in A$，$v_b$$\in B$使得$v=v_a+v_b$，此时记为$A\oplus B$。
首先要知道任意一个和空间必然是线性空间，它还是包含$A\cup B$的最小子空间。设想有一个线性空间，想要包含$A\cup B$，不管怎么说，你起码得包含两个子空间中的所有元素吧？满足了这个条件之后，你必得满足封闭性，$A\cup B$中任何两个元素进行加和，某元素进行数乘，必须封闭。如此，你自然推出，该线性空间被包含于和空间中。再，因为和空间亦包含于该线性空间，自然有和空间最小。
和空间还有一性质，就是拆分方式唯一。抽象地说，这个性质不是和基生成的线性空间类同吗？只不过原来是有唯一的向量，现在是有唯一的属于某集合的向量。

• 两子空间的交也是一个线性空间。对照起来看，既然和与交都能造成线性空间，这两个操作还都是二元操作。你现在手上就有两把利刃，足够把一个线性空间分筋错骨，剔出它的子空间来，对子空间之间的联系看得洞若观火。
  

  怎么判断直和？

  一个和空间，固然是一个线性空间，不过是不是直和还有待商榷。以下罗列姚强讲过的四种刻画：

  1. 存在唯一的向量$v_1,v_2$使得$0$=$v_1+v_2$。
  2. 存在唯一的向量$v_1,v_2$使得和空间中某个向量$r$=$v_1+v_2$。
  3. $V_1\cap V_2$=$\{0\}$
  4. $dim(V_1+V_2)$=$dim(V_1)$+$dim(V_2)$

诸刻画都有些有趣之处。像第一二条，本来直和要求所有向量拆分唯一，这里直接将其化约到了某一向量拆分唯一。我讲不出来它的秘密所在，不过任何人只要看看就明白了——这种举重若轻的魔力肯定会发挥大作用；三很显然：你拆分方式都唯一了，两集合必然没有任何部分能互相替代，唯一相同只在于所有线性空间共有的零向量了。
四由和空间的维数公式可得，这公式和容斥原理形貌相同，论证都有共通之处。不过和空间的维数公式得从基这方面来考察，来证明。

推广

和空间可以无穷加下去，以子空间为单位建立一种类似于基的“大”空间。

一个有趣的例子

设$V=P^n$，$A\in P^{n\times n}$，满足$A^2=A$。
设:
$V_1=\{x\in P^n|Ax=0\}$
$V_2=\{x\in P^n|(A-I)x=0\}$
得证$V=V_1\oplus V_2$

这个例子有意思就在于$V_1$是零空间，$V_2$是特征向量空间。就是说任何一线性变换， 要是满足幂等阵条件，对于所有向量，它要么把人家化约回零点，要么保持人家不变。

• 此外我才发现特征向量必可成一子空间。

供求理论足以泛泛地解释商品的价格——“物以稀为贵”。但是，物品并不是天然是商品的。即使说路边有大石头，从而衍生出了采石行当。但这行当能够存在，全在于劳动、资本、土地的三方配合——你先得有个采石场，再有足够的本钱购置运货车辆，然后还得雇人替你搬运大石。那么，这三个因素又如何互相配合，互相联系呢？劳动要素理论解决了这个问题。工具仍然是传统的供求理论，我们只是把它施加于中间商品上。分析包含了两个市场，中间市场和最终市场。其中，最终市场作为一个背景框定了中间市场，而中间市场的单独商品的波动影响整体的中间市场。

从劳动开始的示例

在最简单的模型里，企业位于完全竞争市场中，产品价格恒定不改。企业要生产就要投入“劳动”，而“劳动”又可以看成是劳动者出售的商品。于是企业要考虑怎么去 购买劳动。原则仍然是利益最大化原则：买进的每单位“劳动”都得有利可图。不过因为边际报酬递减，买进“劳动”的收益总有尽头，这尽头就是劳动代价和劳动收益的均衡点，它便是工人的工资：如果边际单位劳动的价格小于它产出商品的价格，企业就有动机扩大生产，老板开出的劳动价格上升；若是反之，企业亏本，必须缩小生产，则单位劳动价格下降。最后的均衡点就是工人实际的工资，这工资即是边际劳动产品价格（VMP），而边际劳动产品价格又恰恰等于对应的产品价格（P）。实际上考察任何要素，必然离不开该要素在最终市场上产生的价值，这就是说最终市场的情况框定了中间市场的情况。
中间市场本身的情况又如何呢？首先每种要素的单位投入成本对应的边际产量都会完全相等，否则调整一下要素的比例，老板的收益会更高。于是一类要素的变动，必然引起其它投入要素的变动。其次，要素之间还有一种配合关系，资本减少了，对于劳动力的需求则减少，那么工资必然又下降。所有要素织成了一个互相影响的大网。
上述思路是从市场里细分出一个小市场来考察，当然你也可以把这个思路用在要素市场上。比如劳动，你划分出一个的小市场，里面的“企业”都是投入“工作时间”，生产“劳动”的劳动者。闲暇和工作时间为投入要素，把效用当成可欲的。不论是无差异曲线，斯勒茨基分解还是什么，你可以把同样的分析套路用在它们上面。

这样的套路复用得出了什么结论？

你知道了每个要素的回报都等于它们为商品作出的边际贡献，并且它们的边际贡献都相当。不过，这又有什么用呢？曼昆经济学里说这让你知道，收入是如何分配的。显然他想说收入按照边际贡献分配，边际贡献都相当这话书里没讲，不过你自己细细推究就能得出这个结论。每种要素的单位投入成本对应的VMP相当，而收入按各自的VMP分配——这无非是说每种要素的单位投入成本必然能够收回来罢了。或者说要素的成本何以被度量是以产出价值为限的。成本与收益，在中间市场上被混为一体。
因为经济学里你得用货币度量一切，然而货币这个概念是空的，货币之为货币有人的心灵在里面起作用。如果你只盯着货币看，按照经济学的假设，但凡有收益的行为必然要做到没有收益为止，有亏损的行为必然要尽量地止损，度量成本的货币量必然等于度量回报的货币量，这简直是再自然不过了——要是你收不回来，那么为什么要做？如果能收入地更多，为什么不继续地做这事？这里蕴含的一个假设是“边际报酬递减”，并且，它是 连续地递减。但是这有什么意思呢？货币本来就是一种交换媒介，如果人们认为“不公平”，当然不会交换。换句话来说，凡是成立的交换都是 “公平”的。大家都知道这不可能，因为没有理想的 “公平”。经济学无非是用数字复现了这些，在一种绝对理想的假设下复现的也只会是同样的结论，你在哪里都只能碰到 “公平”的“相等”。
那么若我在某一处停止用货币度量一切呢？我说 每单位投入对应的边际产量，而不说 *每单位投入 对应货币量所对应的边际产量。那么假如我在一块土地上有一个农场，十个农民为我打工。再假如这不是理想情况，收益最大化的情况是我有一点五个农场，十个农民。可是我不能这样做，因为你找遍天下也找不到“半个”农场。这里 连续*的假设又出了问题。另外，你也不知道如何把每种要素对产量的贡献具体摘出来考察，对照试验在这里不好用了，因为要素之间是互相影响的。那么你再谈没单位投入对应的边际产量，说它是每种要素回报的标尺，又有什么意思呢？
经济学到底能为我带来什么呢。我最记忆犹新的例子是高产庄稼会减损农民的利益。经济学作出的论证清晰有力，使人信服。整个推导是按照供求理论来走的，也就是说，把价格由供求决定这一观念装在心里能得出很多有趣的结论。但似乎要素市场理论没有这种结果，而且它对收入如何在要素间分配的回答，也使人提不起劲。

学了线性空间，怎样用它求斐波那契数列的通项呢？

设有集合$A=\{(x_1,x_2...x_n,...)\quad$ $|n\in \mathbb{N},x_n+x_{n+1}=x_{n+2}\}$。该集合是一个建立在数域$R$上的线性空间。

任意一个分量都被它前面的两个分量唯一地决定。那么，只有最先的两个分量是完全不受约束的，这两个自由的分量互相之间也没有任何约束。所以该集合的基包含两个元素。我们希望能拿到的是通项，而最简单的有通项公式的数列是等差数列和等比数列。等差数列不能满足$x_n+x_{n+1}=x_{n+2}$的要求，我们会尝试一下等比数列。又因斐波那契数列第一项为$1$，假设有数列$1,q,q^2...$，满足$1+q=q^2$，便能得到满足$x_n+x_{n+1}=x_{n+2}$条件，所以能被集合$A$表达的等比数列。该方程也十分好解，易得$q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。所以可设$a_1=(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2},...)$,$a_2=(1,\frac{1-\sqrt{5}}{2},...)$，易见二者线性无关，其为线性空间的一组基。

• 这里的严格证明实在是不会写。留待补充，2022.3.10。

也就是说对于任意元素$x\in A$,$\exists$唯一 $m_1,m_2\in R$,使得$x=m_1a_1+m_2a_2$。
那么，对于能表达斐波那契数列的元素：
$$
x'=(1,1,\dots,x_n',\dots)
$$
亦有唯一的$m_1',m_2'\in R$，使得$x'=m_1'a_1+m_2'a_2$
计算方程组有：
$$m_1'+m_2'=1$$
$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}m_1'+\frac{1-\sqrt{5}}{2}m_2'=1$$
解得：
$$m_1'=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$m_2'=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}$$
对于$a_1,a_2$中任何一个，其第$n$个分量的值总是为对应的$q_1^{n-1},q_2^{n-1}$，则向量$x'$的第$n$个分量，换言之，斐波那契数列的第n项，写出来是:
$$x_n'=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}$$ $$+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}$$
这个式子很难化，不过你可以验证，它等于斐波那契的标准通项公式：
$$x_n'=\frac{1}{\sqrt{5}} \Big[ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \Bigr]$$

第二章总的目的是要建立在向量空间中的一种变换，变换前后不改变向量空间的“结构”。这话有点抽象，事实上读到这里我也不懂得它是什么意思。我们至多可以说，第一章构筑了实体，现在，实体运动起来了。

线性变换

一个映射是线性变换，首先它的定义域和陪域都必须是线性空间，其次满足以下两个性质（二者其实可以统一为$T(ax+by)=aT(x)+bT(y)$）：

1. $T(x+y) = T(x)+T(y)$,也就是所谓的叠加性。哲学点来说，定义域上每个部分对陪域上总体的贡献是可以摘出来的，不存在说两两之间互相影响这回事。
2. $T(cx)=cT(x)$，即是所谓的均匀性。定义域上的部分如何变化对培域上整体的贡献变化有什么影响？这也是可以摘出来的。可以看成是上一条的变形。（回顾线性空间八性，注意“+”和“×”是可以随意定义的，这两者之间不一定要有R上的“+”“×”的那些性质）哲学地说,这是在特定的变换下保持某种不变性或者规律性，物理上叫做对称性。

线性的概念可以说是博大精深。试举几例：旋转、翻转、投影、矩阵乘法、求导、积分，都是线性的。若读者看到此处请细加体会线性的意义。

零空间和像

零空间即是经线性变换后映射成零元的那些元素构成的集合；像，类同于映射里的值域，就是定义域上诸元素在陪域上对应元素的集合。
教材里拿到这两个定义后干了什么？首先是说零空间和象是线性空间，然后说你能借定义域的一组基找出象域的一个张成集，进而删出象域的一组基。接着推进，构造了零空间和象这两个线性空间的维数为nullity和rank。
重头戏是:

$nullity(T)+rank(T)=dim(V)$

这个定理说出三个子空间维数间的恒等关系。或许我们可以说，这是本书主线上的节点。因为我们谈的向量空间的维数，证明这个定理时使用的“象域的一个张成集是定义域上基映射到陪域上的诸向量之集合”，恰好囊括了之前讨论的两个定理。所以，这个定理解释之前做过的一切努力。那么这个定理揭示了什么？我们知道了零空间维数加秩等于定义域维数，这好像是说定义域就等于零空间和象域两个零空间加起来。但是象域是在陪域的一个子集，怎么会跟定义域和零空间扯上关系呢？这里引出了第二个重点，定义域和陪域之间的神秘联系，所谓联系，在数学里呈现出来就是映射。

于是，第二个重点是：T为单射，等价于零空间只含零元。这个结论是和线性映射的“线性”紧密联系在一起，如果不存在线性，这个结论也不复存在。此外，想想单射的定义是什么：$\forall$$x,y\in V$,$x\neq y$$\Rightarrow T(x)\neq T(y)$。这个定理一下子把“所有”化约到了证明零空间只含唯一元素。
想到了单射，我们可能就会考虑一下满射，兼有满射和单射的不就是双射吗？一俟得到双射的结论，我们就能在两个线性空间中建立一个反映射。这种美好的愿景吸引人继续研究。幸运的是，只要两个线性空间维数相等，满射就等价于单射。这就是说得到任何一种特殊的线性映射，你都能推出该映射是双射。

• 另外，存在唯一的一个映射，使$V$上的一组n元基映射为$W$上的n个向量。(不一定有线性无关，或者张成整个线性空间等等性质)唯一这个说法，表面了若有另一个映射起到同样作用，它们必然是同一映射。
  线性映射是双射的好处就在于 定义域上一集合线性无关等价于陪域上它的映射集线性无关。好像线性无关被传导到了陪域上去。这种传导是线性双射的普遍的规律吗？

矩阵和线性映射

矩阵的好处就在于能够把线性映射更具体地表达出来。“表达”，实际是断言矩阵和线性映射是同义的。在数学上我们得先利用上一节的知识建立一个矩阵和线性映射间的双射。
当我们做线性映射的时候我们在做什么？一个向量变成了另一个向量。既然说是变，具体是向量的什么东西变化了呢。要这么说，首先得表达一个向量是什么东西。向量可以唯一的表示为一组基的数乘和，同时，同属于一个线性空间的其它向量也可以被这组基唯一的表达出来。看来基是一个相当本质性的概念。在一组基下谈不同的向量，唯一不同的就是各个数乘。把数乘扣出来，单独成为一个向量，便抓住了原向量本质性的东西。

$x=\sum_{i=1}^na_iu_i$

被表示为

$$
[x]_\beta=
\begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\.\\.\\.\\a_n
\end{pmatrix}
$$

线性映射涉及到了两个线性空间，起码两组基。把定义域中某向量用陪域中的基表达出来，这“表达”具现化出来就是矩阵。通常的写法是把每一组新基排成一列，把它们排在第几列则表明它是定义域中向量哪一元的变换。

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• 神奇的是线性映射是线性空间到线性空间的映射，而你定义一下线性映射的加法与数乘，你会发现一类线性映射本身也能够变成一个线性空间。自然你可能想一类线性映射到一类线性映射之间也能建立一种映射，这个映射或许又是一个线性空间。这好像金字塔一级一级搭起来，每一级和上一级间都保持类似。金字塔是法老王的坟头，数学结构的这种堆叠是什么？或者问个小一点的问题，线性映射自成线性空间，这种程度的抽象本身有什么用？
• 有了加法和数乘，定义一下矩阵乘积也是很自然的。矩阵就是线性映射，那矩阵乘积无非就是线性映射的复合。很有意思的是线性映射复合而成的映射保持 线性。

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持这种观点看矩阵的乘积$AB$，很自然地会说$AB$的某一列是$B$的某一列向量乘以$A$的某一行向量而成。中心思想就是这个，不过为了构造一个包含我们习以为常的矩阵操作的理论，在廓清定义，阐明运算定理方面，还有一堆细碎的证明要干。

• 又，本节包含一个特别有意思的矩阵引用实例——incidence matrix。$A_{ij}=1$表示$i$到$j$存在某种关系，$A_{ij}=0$表示$i$到$j$不存在某种关系。这一个矩阵起码可以表达信息传递、clique、上下级关系三种范畴。好像是incidence matrix这种抽象抓住了一些具体事件中的本质——或者说incidence matrix做出了一种抽象，做出了一种阐释，合于我们应用的需求。

可逆性与同构

Fortunately, many of the intrinsic properties of functions are shared by their
inverses. For example, in calculus we learn that the properties of being con-
tinuous or differentiable are generally retained by the inverse functions.

摘录的这一段话很有意思。首先这既然是线代课本，谈到可逆性，重点也是在矩阵，线性变换上。至于说为什么要研究反函数？映射就是两个集合之间的关系，定义域上的某元素依着某种关系，和陪域上的某元素确定下来。关系是双向的，联系着这一头和哪一头，不过冒然想从陪域某元素反推回定义域，往往会找到多个元素。当然，你可以构造一种“反函数”定义，其中每个元素对应多个元素，恰好可以描述这种现象。但数学的一个取向是确定，我们希望研究确定的东西，所以有了惯常的逆映射定义。矩阵的逆保持了矩阵的很多性质，这个现象，同反函数保持连续性和可微性一道，被统一在线性映射的逆映射常常保持原映射的性质这一命题中。
线性映射是不是可逆的？除了用定义来证，还可以借助另一定理。

Let $T: V → W$ be a linear transformation, where $V$ and $W$ are finite-
dimensional spaces of equal dimension. Then $T$ is invertible if and only
if $rank(T) = dim(V)$.

很显然，因为零空间为$\{0\}$，又因线性，线性映射是单射。$W$的维数若和$V$一样，还能建立一个双射，产生线性映射的逆，线性映射的逆也是保持线性的。此外，只要在两组基下的线性映射是可逆的等价于线性映射本身也是可逆的。线性映射可逆推出两组基下的线性映射可逆，显然。两组基下的线性映射可逆（其实就是矩阵可逆）如何推出线性映射可逆呢？关键一点，在于运用定理——必然 存在唯一一个线性映射，使得定义域上的一组基，能被映射到陪域上数量与定义域维数相同的一向量集。映射出来的是向量，而向量经过运算还是向量，你完全可以把矩阵各列的向量当成此向量集。之前干的事情是把线性映射改写成矩阵，现在，我们运用此定理把矩阵改写为线性映射。

同构

可逆的概念针对的是某个具体的映射。不过，这个具体的映射本身就给人一种暗示，好像两个线性空间之间有神秘的相似性。这所谓的相似，依前文所述则是维数相等，我们用同构来刻画这种相似性。

• 维数为$n$和$m$的线性空间$V$、$W$,以它们为定义域和陪域的所有线性映射的集合，和所有$m\times n$规格的矩阵的集合是同构的（不过为了表述一个具体的矩阵，建立一个具体的映射，你还是得先给定两组基）。线性映射的矩阵表述是具有线性的，所以只需要证明单射和满射。
  书里给出的证明，包含一个小技巧：双射即等于陪域中每一元素都对应唯一的定义域元素。于是又从矩阵的各分量中构造出唯一的一线性映射。
• 定义道，$n$维向量空间$V$在$\beta$下的 标准表达 是函数$\phi_\beta(x)=[x]_\beta$。$V$的标准表达是函数，听起来很怪。不过这函数本身是一个双射，提供了线性空间$V$到向量空间$F^n$的一个isomorphism。这么说来线性空间$V$到向量空间$F^n$便是一个同构。

坐标变换矩阵

$$x=\frac{2}{\sqrt{5}}x'-\frac{1}{\sqrt{5}}y'$$
$$y=\frac{1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y'$$
如此的一个变量代换，可以把等式$2x^2-4xy+5y^2=1$变成等式$(x')^2+6(y')^2=1$，很容易看出新的等式就是一个椭圆的等式。不过，在标准坐标轴下，它是斜着的。这样岂不是很麻烦，如果是人徒手在纸上作一个椭圆，我们会试着建立一个新的坐标系，把这个椭圆放在中间。可是假如你有两个椭圆，它们相对于彼此都成一定的角度。确实你也可以直接画两个坐标系，可是你逼不得已得知道两个坐标系之间是怎样互相换算的。这就是这一节要讲的。以上面的椭圆举例，若椭圆上某点在原基下为$[P]\_\beta=(x,y)^T$,在新的基下，其旋转过后则是$[P]_\beta'=(x',y')^T$。表达这种坐标轴旋转，或者说，表述不同度量下某向量的形式的，是矩阵$Q=[I_v]_{\beta'}^{\beta}$。该矩阵的第$j$行是$[x_j']_\beta$。如果看不懂这个结论的话，结合前面所定义的线性映射的矩阵表述细细想一下，这十分显然，而又十分有意思。
我们讨论的是向量，但我们也可以讨论一下线性映射。线性映射是由矩阵表达出来的，但是为了用出矩阵，你必须设定两组基。好像在具体的矩阵背后，还有一个显隐不定的线性映射飘忽着，这么想，你也许会说另一个具体的矩阵也能表达同样的线性映射，那么，它们两个矩阵之间有什么关系呢？我们先从简单的矩阵开始，此矩阵表达的线性映射，其定义域与陪域同一。

$$[T]_{\beta'}=Q^{-1}[T]_\beta Q$$

其实这就是中文线代课本里的相似矩形，$A=Q^{-1}BQ$则B与A为相似矩形。两边的矩形起着类似“翻译”的作用。

• 本书给出了一个例子，如何求解二维空间中某点关于某线对称的对应点。中学里传统的做法是作线给出解析方程联立计算等等，每次还只能处理一个点，或者说处理完两个点后得到一条线，十分繁杂。要看出reflection其实是一种线性映射，运用坐标变换矩阵可以很容易地做出来。以对称轴为$y$轴，其过原点的法线为$x$轴，以此为基，即是$Q$，轻易得到的对称的线性变换是$[T]_{\beta'}$，在将此新基下得到的结果翻译回原基，$Q^{-1}$，它们一同表达了$[T]_{\beta'}$。
• 接上文，如果某点关于某条不过原点的线对称似乎是不行的。因为这时似乎不存在线性。
• 再接上文，问题不是在没有线性上。能确切表达一个不在原点上的直线的空间不是二维空间。也就是说二维空间中无法处理这个问题。能处理的东西似乎叫仿射空间？

回到本节开题所写的问题，如果我们想找$[T]_{\alpha'}^{\alpha}$，$[T]_{\beta'}^{\beta}$的关系，易得：
$$[T]_{\alpha'}^{\alpha}=[I]_\beta^\alpha[T]_{\beta'}^{\beta}[I]_{\alpha'}^{\beta'}$$

WTO的前身是GATT（General Agreements on tairffs and trades）。本来是二战过后百废待兴，产生重建世界的一种设想：通过贸易自由化促进世界经济的一体化。GATT就是一套实践这一设想的国际法规。从1947年到1994年，GATT在不断地磋商谈判中变成了一个庞大的体系，拓展到了国际经济生活的许多方面。WTO就是这几十年法规体系总的替代。并且WTO是一个国际法人，具有协调的作用，比单纯的条约体系更有约束力。
中国入世前后都伴随着巨大的争议。为了入世，中国必须对自身的政治经济制度做出一定的改造，所有这些改造都是为了符合WTO的要求。中国向来较为封闭的经济系统被抛入了世界经济的漩涡中，接受世界商品的竞争。这种自由竞争到底是机运还是灾难？中国农业能否经受住国际商品的冲击，在当时就是论争的一个焦点——受得住当然好，但千万分散的农户构成的农业，如果受不住外国大农场的冲击，必然导致农民流离失所，社会动荡。结果是一国的粮食被把握在外国人的手中，整个国家不过是案板鱼肉，任人宰割。中国入世在经济和政治上的争论中走来的。

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WTO有几条原则：

1. 自由竞争原则。WTO要求缔约国必须对国营企业和私营企业实行非歧视待遇，在购买或销售时除适当注意本协定的其他规定外，应只以商业上的考虑（包括价格、质量、货源多少、推销难易、运输和其他购销条件）作为根据，并根据商业上的惯例对其他缔约国提供参与购买或销售的适当竞争机会。
2. 充分市场准入原则。主要是采取关税减让和削减非关税壁垒的手段，推进国际贸易的自由化。关税减让谈判一般在产品主要供应者与主要进口者之间进行，其他国家也可参加。双边的减让谈判结果，其他成员按照"最惠国待遇"原则可不经谈判而适用。同时，WTO要求削减非关税的贸易壁垒，使关税成为唯一的保护手段。但是也有一些重要的例外，如国际收支困难的国家被允许实施数量限制；发展中国家的"幼稚工业"也被允许加以保护。
3. 公平贸易和互惠互利原则。主要是反对倾销和出口补贴。WTO规定，用倾销的手段将一国产品以低于正常价值的办法挤入另一国贸易内，如因此对某一缔约国领土内已建立的某项工业造成重大损害或产生重大威胁，或者对某一国内工业的新建生产严重阻碍，这种倾销应该受到谴责。缔约国为了抵消或防止倾销，可以对倾销的产品征收数量不超过这一产品的反倾销税。以及为了抵消商品于制造、生产或输出时所直接或间接接受的任何奖金或补贴而征收反补贴税的特别关税。同时，WTO强调，反对成员滥用反倾销和反补贴措施达到其贸易保护的目的。 WTO还规定了互惠互利原则，在关税和非关税壁垒的削减中，各国应当对等，但发展中国家则享受某些例外。
4. 一般禁止数量限制原则。WTO规定，任何缔约方除征收捐税或其他费用外，不得设立或维持配额、进出口许可证或其他措施以限制或禁止其他缔约国领土的产品的输入，或向其他缔约国领土输出或销售出口产品。在某些情况下例外，可以实行数量限制但须遵守非歧视原则，不得指定供货来源。
5. 贸易政策法规的全国统一、实施透明原则。WTO规定，缔约国有效实施的关于海关对产品的分类或估价，关于税捐和其他费用的征收率，关于对进出口货物及其支付转帐的规定、限制和禁止，以及关于影响进出口货物的销售、分配、运输、保险、存仓、检验、展览、加工、混合或使用的法令、条例与足资一般援用的司法判决及行政决定应迅速公布，以使各国政府及贸易商对它们熟习。一缔约国政府或政府机构与另一缔约国政府或政府机构之间缔结的影响国际贸易政策的现行协定，也必须公布。缔约各国应以统一、公正和合理的方式实施队伍贸易方面的法令、条例、判决和决定。
6. 非歧视原则。包括一般最惠国待遇原则和国民待遇原则。最惠国待遇，是国际经济贸易关系中常用的一项制度，又称"无歧视 待遇"。它通常指的是缔约国双方在通商、航海、关税、公民法律地位等 方面相互给予的不低于现时或将来给予任何第三国的优惠、特权或豁免待 遇。WTO规定了无条件的最惠国待遇原则，即：一缔约国对来自或运往其他国家的产品所给予的利益、优待、特权或豁免，应当立即无条件地给予来自或运往所有其他缔约国的相同产品。国民待遇是最惠国待遇的有益补充。在实现所有世贸组织成员平等待遇基础上，世贸组织成员的商品或服务进入另一成员领土后，也应该享受与该国的商品或服务相同的待遇。WTO规定, 内地税和其他内地费用，影响产品的国内销售、兜售、购买、运输、分配或使用的法令、条例和规定，以及对产品的混合、加工或使用须符合特定数量或比例要求的国内数量限制条例，在对进口产品或国产品实施时，不应用来对国内生产提供保护。一缔约国领土的产品输入到另一缔约国领土时，在关于产品的国内销售、兜售、购买、运输、分配或使用的全部法令、条例和规定方面，所享受的待遇不低于相同的国产品所享受的待遇。同时，WTO还规定了通过磋商解决争端原则。
   （摘自 王福春：中国与WTO）

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经济好生活就好，经济差生活就差。不过个人生活好坏虽然很直观，却囿于个人的视角，常常不能反映所有人的生活——也就是总体的经济。为了直接考察经济的好坏，人们发明了GDP、GNP、NNP、NI、PI、DPI等等指标。最常用的是GDP。GDP想要衡量一切价值的总和，最现成的数据是市场交易价格。不过，最终产品的价值包含了中间产品的价值，所以中间产品不算入GDP。从这个逻辑往外推，二手商品不算，因为它是价值的复用——尽管二手商品的购买者付了钱，但这钱是被一手持有者拿到手的，抵消了部分他购买新品的代价。就好像是第一手使用者用了一段时间，于是支付了这段时间的价格，二手持有者接盘后支付了余出来的价格；政府的转移支付也不算，因为转移支付是纯粹的价值换手，只涉及到分配的问题而无涉生产。

• 如果一个人收到了工资，工资算入一次GDP。他又把工资拿去买吃的喝的玩的，又再算一次GDP，商家老板把这些钱拿来买房，也算GDP。钱的通货属性在这里展露无遗，钱还是那些钱，如果这个社会用的是现金，钱在最具体的意义上都还是那些钱。不过，这有限的钱已经度量了超出本身面值的价值：此人的服务价值、吃喝玩乐产品的价值和房产的价值。
• 美国经济分析局在2013年把知识产权划入GDP，这算什么？是不是说一个社会如果充斥文化垃圾，也是经济发达？这是一种脱实向虚的倾向。论物质条件，文化产品注定只是一种折射而不是根本；论人文意义，文化产品的优劣甚至不能被金钱度量。公版书一分钱也不要，对文化的贡献又岂需赘言？

不过，你会看到GDP具体的数值是从交易价格来的。假使一国之内只有米和大豆两种商品，今天米价两元一斤，豆三元一斤，明日米价二十元而豆三十元。想必米和豆的消费量大致是不变的，但是我们能说此国人民生活水平飞涨十倍吗？既然GDP是数值，那么它无可奈何地参与到数值的游戏中来，GDP这一概念因此和金融学密不可分。我们看经济形势时往往看GDP增速这个指标，也是因为GDP增速是一年的GDP与上一年GDP作比，表现的是一种关系。整体可以膨胀，但是部分和部分之间的关系却没那么轻易就被改变。
还有一种做法是区分名义GDP和真实GDP。在计算后者时划定一个基年，再以基年的数值乘当年的生产数量得到当年的真实GDP,并有一测算价格变动，因而也能测算通货膨胀的指标：
$$\frac{名义GDP}{实际GDP}=平减指数\times 100$$
这似乎要相对真实一点了，不过也只是相对而已。因为它是固定了某一年商品间的关系，以其为经年不变的基石，再去衡量世界。我们可以说一国在基年产豆共两斤，一斤五元；产米共一斤，一斤二十元。今年气候突变，产豆一斤，市值一斤二十元；产米两斤，一斤五元。按照“真实GDP”计算法，基年GDP三十元，今年GDP四十五元。不过在这个例子中，豆和米同样作为粮食，在两年里总重不变，同时就两种商品本身来说，其价格对需求量的弹性相同，那么GDP到底为什么会变化呢？现实生活中没有这样的例子，弹性一模一样，可是些微的差别也仍然能导致同样的结果。这里的逻辑是这样的，“真实GDP”以为不变的只是单个的商品价格，忽略了不同商品间的替代性，因而忽略宏观层面的一些细节。

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传统经济学（微观经济学）建立在市场全部出清的基础上。同时当时各国的阶级统计数据为宏观经济学的诞生打下基础，大萧条的产生更是直接要求“有形之手”的干预。没有恰当的认识，就没有有效的干预，所有宏观经济学应运而生。
最初的宏观经济学出于凯恩斯之手。其模型中关键的假设是工资刚性：也就是说，工资的数值不能动。

• 微观经济学里以边际分析方法从个量加总得到总量层面的结果，然而一些结果不是个体经济行为的简单加总，故宏观经济学直接从总量入手。
• 毕竟个体很难影响总体，所以研究个体时往往假设无关变量不变。然而这在研究经济总体时并不合适。

基本理论框架

1. 三（四）部门：家庭、企业、政府（+外贸）。
2. 三市场：产品、货币和劳动市场。

• 自由学派——弱化宏观经济学的影响。

宏观经济的目标和度量

经济的产出与增长率

GDP是一定时期内一个国家内生产的所有最终物品和劳务的市场价值。尤其需要强调的是，它是据最终物品和劳动的市场价值算出来的。所谓“最终”，强调的是这些商品不会再提供给其它厂商以生产其它商品。它之所不计算入GDP是因为它的价值将包含于最终产品之中。不过，这个定义在现实面前还是稍显无力。测算GDP最常用的方法还是另外三种方法。（另外，GDP只算进入市场的商品。家务劳动这种活动，尽管重要，也是不会被计入GDP中的；再一个例外就是若商品没有卖出去，则作为存货投资计入GDP）
那么，怎么计算具体的GDP呢？

• 按照定义法。即是计算各生产环节存货投资加消费终端的消费量。
• 按照生产法。核算各环节生产中的价值增殖来获得。（这比定义法好操作多了，因为是从每个环节入手，企业的进出帐是很明确的。规避了划分最终产品的问题）
• 按照支出法。核算整个社会在一定时期内购买最终产品的支出总合来求得。
• 收入法

定义法外的三方法之所以成立，是因为有等式总产出$=$总支出$=$总收入成立。

1. 通货膨胀
2. 失业状况
3. 经济政策

假设有两个部门或三个部门或四个部门，金钱只是一种媒介，每次转手必然有买方卖方，由此产生不同的视角——从产出和支出的角度都能得到不同的GDP=X+Y+Z的式子，联立多个式子可以得到很多有趣的结果。

向量空间

向量空间，空间空间，即是有一定的范围，数学中我们用集合来表达这种概念，在这一向量构成的集合之中，诸元素若满足八条定理，该集合就是一向量空间。具体是，加法的交换律和结合律，两条；标量乘法的结合律，三条；加法中存在零元逆元，五条；标量乘法对加法互相满足分配律，七条；任何向量存在幺元，八条。
“向量”在这一语境下到底是什么，其实无关紧要。要紧的是定义加法和标量乘法，标量乘法又要求一个域。总的来说，两个集合，两种操作，八条定理，就成为一个建立在一个域上的向量空间。另外，域对定义在上面的操作有封闭性；向量空间同样有，只不过主角变成了向量——是向量在被变换，而域只是用来描述向量的标量乘法的，屈居次位。于是，向量空间似乎是域的一种扩张。

• 向量空间的向量就是向量，只有把定义推广成线性空间时，我们才可以说元组可以成一空间，矩阵的集合可成一向量空间；函数亦可。许多东西都可以看成函数，于是还能得到多项式函数可，数列可......

向量空间既然是个集合，它也可以有子集。当子集是个向量空间时，它便被称为该向量空间的子空间。如果每次判断子空间时都要对八条定理加以一一验证，未免繁琐。快捷的方法是检查该子集是否满足三条陈述：

• 0$\in$W.
• 若$x\in W,y\in W$,那么$x+y\in W$。
• 若$c\in F,x\in W$,那么$cx\in W$.

简言之，其它定理是普适性的描述，它们描述的性质，自动被向量空间中所有元素继承。然而这三条确有赖于具体元素的选择，表现出一种偶然性。

两两子空间的交集同样可称为子空间，如果要细加阐释，我们可以说：因为向量空间具有的性质是，向量怎么变换都在向量空间之内。于是属于两向量空间之交集的向量，经过任意变换后，仍然保持在两向量空间中。从这个定理，我们可以想到，一旦两个向量空间可以归属到同一向量空间之下，它们的交集将会产生许多属于向量空间的有趣性质。哲学地说有点宏观与微观同构的感觉。

线性组合

线性组合是就向量而言的。一个向量是线性组合，当且仅当，它所在的向量空间一子集中，存在有限个向量的数乘的和可以用来表示这个向量。于是，我们称它为该子集中诸向量的线性组合。似乎可以泛泛地说，许多向量的信息可以抽象地化约到一个向量中。

Throughout Chapters 1 and 2 we encounter many different situations in which it is necessary to determine whether or not a vector can be expressed as a linear combination of other vectors, and if so, how. This question often reduces to the problem of solving a system of linear equations.

一个向量是不是其余可数向量的线性组合呢？这是作者强调的关键问题。也许这句话起到了提纲挈领的作用，故引用如上。

接下来演示了如何判断一个向量是不是线性组合。
$u_1=(1,2,1)$,$u_2=(-2,-4,-2)$,$u_3=(0,2,3)$,$u_4=(2,0,-3)$,$u_5=(-3,8,16)$。$(2,6,8)$是不是它们的线性组合呢？如果是，必然有域$F$中元素$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，使得$(2,6,8)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3+a_4u_4+$$a_5u_5。$于是，问题变成了解方程。书里探讨了一下解方程中出现的三种操作、使用这些操作意欲达到的目的、方程组无解的标志是什么。

张成空间(span)是某组向量的所有线性组合，共同组成的集合。张成空间的一个性质就是它自动变成向量空间的一个子空间。回到线性组合的定义，为什么一个向量能被称为一些向量的线性组合呢？因为一些向量的数乘的和等于该向量。如果把两个这样的向量加在一起，实际上等于一些向量再进行一次加和，它们并不逾越成为另一些向量，仍然是一些向量的线性组合;如果这样的向量乘以标量，据分配律和结合律，再有域的性质，新的向量仍然是线性组合。另一个性质是向量空间的某一子空间一旦包含一些向量，必然包含这些向量的张成空间。子空间叠子空间，看起来向量空间具有一种神秘的自成一“域”的性质。即使只知道几个向量在一子空间中，管中窥豹，也能得知它们的张成空间也在该子空间中。

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线性组合的概念与向量空间的概念经由张成空间被统一在“生成”的概念中，表达这统一的命题是：

如果$span(S)=V$,那么说向量空间$V$的一子集$S$生成$V$。

想要找到一个很小的生成$V$的$S$，这个想法再自然不过了。因为$S$越小，就可以用更少次数的加和与数乘，表达$V$中的任何向量。问题关键在于，$S$中是否有向量是其它向量的线性组合呢？如果有，只消删去这个向量$a$，新的$S^{\prime}$照样能生成$V$,因为原有的表达式上$a$的位置，一律能被余下的向量代替。那么，对具体的向量集，又该怎样操作呢？有种很直接的办法是:
$$
u_{x_1}=u_{x^2}+u_{x^3}+...+u_{x^n}
$$
只要肯一个一个试，总能找出解来的。

这实在是一种笨功夫。不过只要你把方程左边移到右边来，柳暗花明又一村，就能得到一个判断某向量是否是其它向量的线性组合的好方法。对于线性相关来说，只要系数不变成0，符号怎样完全无所谓，于是我们得到了线性相关的概念。

如果$S$中存在有限个不同向量$u_1、u_2、...、u_n$，且有标量$a_1、a_2、...、a_n$不全为$0$,使得$a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=0$,那么我们说向量空间$V$的子集$S$是线性相关的。

所以，线性相关的概念之所以诞生，和为了缩小生成集（不严谨的用法）的动机是分不开的。因此，$a_1、a_2、...、a_n$全为$0$的解被称为平凡解，还可以从这方面来理解。
最终目的是为了得到“纯净”的向量集，里面任何向量不是其余向量的线性组合，所以我们有线性无关的概念，它的定义很简单地是线性相关的否定。线性相关是一种局部存在即存在的性质，反映到定义里就是$\exists a \neq 0$;线性无关是一种全体存在才存在的性质，反映到定义里是$\forall a = 0$。又，线性无关集要添入一个向量而成为线性相关集，只可能是新向量是原有诸向量的线性组合。

• 这最后一个性质有种用法：慢慢构造线性无关向量集，直到添入任何一个向量，集合都会变成线性无关，用该性质可断言向量集包含整个线性空间。

  基

  一组生成整个线性空间的线性无关向量被称为该线性空间的基。究其原因，是因为每个向量在这组基下都只能被唯一地表达。看起来基的每一种变换，都和线性空间中的每一个向量存在双射关系。基在这里变成了一种刻画线性空间的语言，叫它作“始基”就很正常了。
  “生成”的概念和“基”的概念密切相关，但凡任意有限集生成线性空间，它们的某个子集必然是基。也就是说，基的影子出现在每一个生成里面。如何论证这个命题呢？显而易见，慢慢删掉集合中的向量，最后总能得到一个线性无关集。要紧的是证明删掉向量，集合仍然张成线性空间,中间是以原生成集为跳板，证明线性无关集张成原生成集，导出集合张成线性空间。

  替换定理

  线性空间$V$被一含$n$个元素的集合$G$生成。若$L$是$V$中一个线性无关集,含有$m$个元素，则必定$m\leq n$，且$G$中一子集$H$定含有$n-m$个元素使得$L\cup U$生成$V$

• 这个定理关键的几步是构造性的，在玩弄$G$和$L$两个集合中的向量。

也就是说只要有一个生成集打底，线性空间中一切线性相关集包含的元素个数都不大于它。如果说生成集蕴含了一切信息，这随机挑选的线性无关集可能丢掉了一些信息。本定理还保证线性无关集不具备的信息必能从生成集中得到。不囿于具体的向量而能复原出整个线性空间，似乎向量的个数是线性空间的重要指标。
确实，从这个定理出发，玩弄一个小小的trick就能得到每个基元素数量相同的结论:若基的元素数不同，必有一个更大，以小者为主体运用定理就能导出矛盾。从这里产生了维数的概念。更进一步地，生成集只要元素数与维数相同，必然是一个基;含维数个数元素的线性无关集，也是一个基。

维数是线性空间子空间的本质特征

1. 两子空间维数相等，两子空间相等。

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拉格朗日插值法

$f_i(x)=\frac{(x-c_0)...(x-c_i-1)(x-c_i+1)...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_i-1)(c_i-c_i+1)...(c_i-c_n)}$
如上所示可以得到$f_1、f_2、f_3...f_n$一串函数的表达式，而且，可以证明它们线性无关。证明的关键是结合式子
$$
f_i(c_j)=
\begin{cases}
0& if&i\neq j\\
1& if&i= j
\end{cases}
$$
得到诸标量只能为0。
于是，线性无关的向量是其对应子空间的基。

划分这个概念是建立在实数域上的闭区间上的。它是一个集合，其元素必须包含两个端点，其余随意从闭区间中抽取，不过，总的元素个数需要是有限的，所以并不能抽取一个“区间”。同时作者强调可将所有划分设为一个集合，原因未知。
划分中任意相邻（在数轴上相邻）元素之距离最大者称为该划分的模。同时，若两个在同一闭区间的分划$A$、$B$，若$A \subset B$,那么$B$是$A$的细化。直观来说，就是一个划分似乎是由数轴上诸多桩子构成的，在原有的桩子上多打一些，我们当然会说数轴被切割地更细了，所以取名叫细化很自然。
在一个划分中，从相邻两点所构成的闭区间中可取出一个数，由所有这种数构成的集合叫标志点组。标志点组的选定有赖于划分的确定，所以二者息息相关。不过，值得注意的是，因为是闭区间，所有可以有前一区间取出的数是右端点，下一区间取出的数是左端点，二者重合。

借用以上诸概念表述的黎曼和定义，标志点组这个概念用在了函数值那里。

给定定义在$[a,b]$上的函数$f:[a,b]\to\mathbb{R}$，给定$\mathbb{P}\in\frak{P}\_[a,b]$，且有$\xi$ 是$\mathbb{P}$的一个标志点组，我们记$R(F,\mathbb{P},\xi):=$$\sum\_{k=1}^m f(\xi_k)·(x_k-x_{k-1})$,称为$f$关于$\mathbb{P}$及其相应的$\xi$的一个黎曼和（或积分和)

接下来谈了黎曼和的一些性质。

• 黎曼和是线性的，类似于函数有线性，毋宁说黎曼和本身就是一个函数
  • $R(f+g,\mathbb{P},\xi)=R(f,\mathbb{P},\xi)+R(g,\mathbb{P},\xi)$
  • $R(\alpha f,\mathbb{P},\xi)=\alpha R( f,\mathbb{P},\xi)$
    1. 黎曼和从函数那里“继承”了大小关系，不过要对于区间上所有实数的函数皆成立同一大小关系，才有黎曼和的大小关系。
    2. 另外，划分及其对应的标志点组一道具有一种“区间可加性”。因为划分及其对应的标志点组，其实只相当于一个代号。所以证明本身从这种想法出发，主要是在玩弄集合论语言。
    3. 一个闭区间上的黎曼和要小于这一闭区间上函数的最大值与最小值之差的绝对值。画图出来该点很显然。
    4. 不同的划分所成黎曼和的差的绝对值必然小于这一闭区间上函数的最大值与最小值之差的绝对值的两倍。该结论由三角不等式推出。
    5. 上条所谈的大小关系局限于“最大值与最小值之差”。其实还可更仅一步，只消是划分中每两相邻点之间的最大值最小值之差中，它们的最大者亦能起到上条同样的作用。不过这需要“不同划分”是同一划分的细化。