直和是什么东西？
首先，我们说$V$的两子空间$A$,$B$的和$A+B$为$\{v_a+v_b$$|v_a\in A,$$v_b\in B\}$，然后$A+B$若为直和，则对于$\forall v\in A+B$，存在唯一的$v_a\in A$，$v_b$$\in B$使得$v=v_a+v_b$，此时记为$A\oplus B$。
首先要知道任意一个和空间必然是线性空间，它还是包含$A\cup B$的最小子空间。设想有一个线性空间，想要包含$A\cup B$，不管怎么说，你起码得包含两个子空间中的所有元素吧？满足了这个条件之后，你必得满足封闭性，$A\cup B$中任何两个元素进行加和，某元素进行数乘，必须封闭。如此，你自然推出，该线性空间被包含于和空间中。再，因为和空间亦包含于该线性空间，自然有和空间最小。
和空间还有一性质，就是拆分方式唯一。抽象地说，这个性质不是和基生成的线性空间类同吗？只不过原来是有唯一的向量，现在是有唯一的属于某集合的向量。
- 两子空间的交也是一个线性空间。对照起来看，既然和与交都能造成线性空间，这两个操作还都是二元操作。你现在手上就有两把利刃，足够把一个线性空间分筋错骨，剔出它的子空间来，对子空间之间的联系看得洞若观火。
怎么判断直和？
一个和空间，固然是一个线性空间，不过是不是直和还有待商榷。以下罗列姚强讲过的四种刻画：
- 存在唯一的向量$v_1,v_2$使得$0$=$v_1+v_2$。
- 存在唯一的向量$v_1,v_2$使得和空间中某个向量$r$=$v_1+v_2$。
- $V_1\cap V_2$=$\{0\}$
- $dim(V_1+V_2)$=$dim(V_1)$+$dim(V_2)$
诸刻画都有些有趣之处。像第一二条，本来直和要求所有向量拆分唯一，这里直接将其化约到了某一向量拆分唯一。我讲不出来它的秘密所在，不过任何人只要看看就明白了——这种举重若轻的魔力肯定会发挥大作用；三很显然：你拆分方式都唯一了，两集合必然没有任何部分能互相替代，唯一相同只在于所有线性空间共有的零向量了。
四由和空间的维数公式可得，这公式和容斥原理形貌相同，论证都有共通之处。不过和空间的维数公式得从基这方面来考察，来证明。
推广
和空间可以无穷加下去，以子空间为单位建立一种类似于基的“大”空间。
一个有趣的例子
设$V=P^n$，$A\in P^{n\times n}$，满足$A^2=A$。
设:
$V_1=\{x\in P^n|Ax=0\}$
$V_2=\{x\in P^n|(A-I)x=0\}$
得证$V=V_1\oplus V_2$
这个例子有意思就在于$V_1$是零空间，$V_2$是特征向量空间。就是说任何一线性变换， 要是满足幂等阵条件，对于所有向量，它要么把人家化约回零点，要么保持人家不变。
- 此外我才发现特征向量必可成一子空间。