划分这个概念是建立在实数域上的闭区间上的。它是一个集合，其元素必须包含两个端点，其余随意从闭区间中抽取，不过，总的元素个数需要是有限的，所以并不能抽取一个“区间”。同时作者强调可将所有划分设为一个集合，原因未知。
划分中任意相邻（在数轴上相邻）元素之距离最大者称为该划分的模。同时，若两个在同一闭区间的分划$A$、$B$，若$A \subset B$,那么$B$是$A$的细化。直观来说，就是一个划分似乎是由数轴上诸多桩子构成的，在原有的桩子上多打一些，我们当然会说数轴被切割地更细了，所以取名叫细化很自然。
在一个划分中，从相邻两点所构成的闭区间中可取出一个数，由所有这种数构成的集合叫标志点组。标志点组的选定有赖于划分的确定，所以二者息息相关。不过，值得注意的是，因为是闭区间，所有可以有前一区间取出的数是右端点，下一区间取出的数是左端点，二者重合。
借用以上诸概念表述的黎曼和定义，标志点组这个概念用在了函数值那里。
给定定义在$[a,b]$上的函数$f:[a,b]\to\mathbb{R}$，给定$\mathbb{P}\in\frak{P}\_[a,b]$，且有$\xi$ 是$\mathbb{P}$的一个标志点组，我们记$R(F,\mathbb{P},\xi):=$$\sum\_{k=1}^m f(\xi_k)·(x_k-x_{k-1})$,称为$f$关于$\mathbb{P}$及其相应的$\xi$的一个黎曼和（或积分和)
接下来谈了黎曼和的一些性质。
- 黎曼和是线性的，类似于函数有线性，毋宁说黎曼和本身就是一个函数
- $R(f+g,\mathbb{P},\xi)=R(f,\mathbb{P},\xi)+R(g,\mathbb{P},\xi)$
- $R(\alpha f,\mathbb{P},\xi)=\alpha R( f,\mathbb{P},\xi)$
- 黎曼和从函数那里“继承”了大小关系，不过要对于区间上所有实数的函数皆成立同一大小关系，才有黎曼和的大小关系。
- 另外，划分及其对应的标志点组一道具有一种“区间可加性”。因为划分及其对应的标志点组，其实只相当于一个代号。所以证明本身从这种想法出发，主要是在玩弄集合论语言。
- 一个闭区间上的黎曼和要小于这一闭区间上函数的最大值与最小值之差的绝对值。画图出来该点很显然。
- 不同的划分所成黎曼和的差的绝对值必然小于这一闭区间上函数的最大值与最小值之差的绝对值的两倍。该结论由三角不等式推出。
- 上条所谈的大小关系局限于“最大值与最小值之差”。其实还可更仅一步，只消是划分中每两相邻点之间的最大值最小值之差中，它们的最大者亦能起到上条同样的作用。不过这需要“不同划分”是同一划分的细化。