向量空间
向量空间，空间空间，即是有一定的范围，数学中我们用集合来表达这种概念，在这一向量构成的集合之中，诸元素若满足八条定理，该集合就是一向量空间。具体是，加法的交换律和结合律，两条；标量乘法的结合律，三条；加法中存在零元逆元，五条；标量乘法对加法互相满足分配律，七条；任何向量存在幺元，八条。
“向量”在这一语境下到底是什么，其实无关紧要。要紧的是定义加法和标量乘法，标量乘法又要求一个域。总的来说，两个集合，两种操作，八条定理，就成为一个建立在一个域上的向量空间。另外，域对定义在上面的操作有封闭性；向量空间同样有，只不过主角变成了向量——是向量在被变换，而域只是用来描述向量的标量乘法的，屈居次位。于是，向量空间似乎是域的一种扩张。
- 向量空间的向量就是向量，只有把定义推广成线性空间时，我们才可以说元组可以成一空间，矩阵的集合可成一向量空间；函数亦可。许多东西都可以看成函数，于是还能得到多项式函数可，数列可......
向量空间既然是个集合，它也可以有子集。当子集是个向量空间时，它便被称为该向量空间的子空间。如果每次判断子空间时都要对八条定理加以一一验证，未免繁琐。快捷的方法是检查该子集是否满足三条陈述：
- 0$\in$W.
- 若$x\in W,y\in W$,那么$x+y\in W$。
- 若$c\in F,x\in W$,那么$cx\in W$.
简言之，其它定理是普适性的描述，它们描述的性质，自动被向量空间中所有元素继承。然而这三条确有赖于具体元素的选择，表现出一种偶然性。
两两子空间的交集同样可称为子空间，如果要细加阐释，我们可以说：因为向量空间具有的性质是，向量怎么变换都在向量空间之内。于是属于两向量空间之交集的向量，经过任意变换后，仍然保持在两向量空间中。从这个定理，我们可以想到，一旦两个向量空间可以归属到同一向量空间之下，它们的交集将会产生许多属于向量空间的有趣性质。哲学地说有点宏观与微观同构的感觉。
线性组合
线性组合是就向量而言的。一个向量是线性组合，当且仅当，它所在的向量空间一子集中，存在有限个向量的数乘的和可以用来表示这个向量。于是，我们称它为该子集中诸向量的线性组合。似乎可以泛泛地说，许多向量的信息可以抽象地化约到一个向量中。
Throughout Chapters 1 and 2 we encounter many different situations in which it is necessary to determine whether or not a vector can be expressed as a linear combination of other vectors, and if so, how. This question often reduces to the problem of solving a system of linear equations.
一个向量是不是其余可数向量的线性组合呢？这是作者强调的关键问题。也许这句话起到了提纲挈领的作用，故引用如上。
接下来演示了如何判断一个向量是不是线性组合。
$u_1=(1,2,1)$,$u_2=(-2,-4,-2)$,$u_3=(0,2,3)$,$u_4=(2,0,-3)$,$u_5=(-3,8,16)$。$(2,6,8)$是不是它们的线性组合呢？如果是，必然有域$F$中元素$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，使得$(2,6,8)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3+a_4u_4+$$a_5u_5。$于是，问题变成了解方程。书里探讨了一下解方程中出现的三种操作、使用这些操作意欲达到的目的、方程组无解的标志是什么。
张成空间(span)是某组向量的所有线性组合，共同组成的集合。张成空间的一个性质就是它自动变成向量空间的一个子空间。回到线性组合的定义，为什么一个向量能被称为一些向量的线性组合呢？因为一些向量的数乘的和等于该向量。如果把两个这样的向量加在一起，实际上等于一些向量再进行一次加和，它们并不逾越成为另一些向量，仍然是一些向量的线性组合;如果这样的向量乘以标量，据分配律和结合律，再有域的性质，新的向量仍然是线性组合。另一个性质是向量空间的某一子空间一旦包含一些向量，必然包含这些向量的张成空间。子空间叠子空间，看起来向量空间具有一种神秘的自成一“域”的性质。即使只知道几个向量在一子空间中，管中窥豹，也能得知它们的张成空间也在该子空间中。
线性组合的概念与向量空间的概念经由张成空间被统一在“生成”的概念中，表达这统一的命题是：
如果$span(S)=V$,那么说向量空间$V$的一子集$S$生成$V$。
想要找到一个很小的生成$V$的$S$，这个想法再自然不过了。因为$S$越小，就可以用更少次数的加和与数乘，表达$V$中的任何向量。问题关键在于，$S$中是否有向量是其它向量的线性组合呢？如果有，只消删去这个向量$a$，新的$S^{\prime}$照样能生成$V$,因为原有的表达式上$a$的位置，一律能被余下的向量代替。那么，对具体的向量集，又该怎样操作呢？有种很直接的办法是:
$$
u_{x_1}=u_{x^2}+u_{x^3}+...+u_{x^n}
$$
只要肯一个一个试，总能找出解来的。
这实在是一种笨功夫。不过只要你把方程左边移到右边来，柳暗花明又一村，就能得到一个判断某向量是否是其它向量的线性组合的好方法。对于线性相关来说，只要系数不变成0，符号怎样完全无所谓，于是我们得到了线性相关的概念。
如果$S$中存在有限个不同向量$u_1、u_2、...、u_n$，且有标量$a_1、a_2、...、a_n$不全为$0$,使得$a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=0$,那么我们说向量空间$V$的子集$S$是线性相关的。
所以，线性相关的概念之所以诞生，和为了缩小生成集（不严谨的用法）的动机是分不开的。因此，$a_1、a_2、...、a_n$全为$0$的解被称为平凡解，还可以从这方面来理解。
最终目的是为了得到“纯净”的向量集，里面任何向量不是其余向量的线性组合，所以我们有线性无关的概念，它的定义很简单地是线性相关的否定。线性相关是一种局部存在即存在的性质，反映到定义里就是$\exists a \neq 0$;线性无关是一种全体存在才存在的性质，反映到定义里是$\forall a = 0$。又，线性无关集要添入一个向量而成为线性相关集，只可能是新向量是原有诸向量的线性组合。
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这最后一个性质有种用法：慢慢构造线性无关向量集，直到添入任何一个向量，集合都会变成线性无关，用该性质可断言向量集包含整个线性空间。
基
一组生成整个线性空间的线性无关向量被称为该线性空间的基。究其原因，是因为每个向量在这组基下都只能被唯一地表达。看起来基的每一种变换，都和线性空间中的每一个向量存在双射关系。基在这里变成了一种刻画线性空间的语言，叫它作“始基”就很正常了。
“生成”的概念和“基”的概念密切相关，但凡任意有限集生成线性空间，它们的某个子集必然是基。也就是说，基的影子出现在每一个生成里面。如何论证这个命题呢？显而易见，慢慢删掉集合中的向量，最后总能得到一个线性无关集。要紧的是证明删掉向量，集合仍然张成线性空间,中间是以原生成集为跳板，证明线性无关集张成原生成集，导出集合张成线性空间。替换定理
线性空间$V$被一含$n$个元素的集合$G$生成。若$L$是$V$中一个线性无关集,含有$m$个元素，则必定$m\leq n$，且$G$中一子集$H$定含有$n-m$个元素使得$L\cup U$生成$V$
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这个定理关键的几步是构造性的，在玩弄$G$和$L$两个集合中的向量。
也就是说只要有一个生成集打底，线性空间中一切线性相关集包含的元素个数都不大于它。如果说生成集蕴含了一切信息，这随机挑选的线性无关集可能丢掉了一些信息。本定理还保证线性无关集不具备的信息必能从生成集中得到。不囿于具体的向量而能复原出整个线性空间，似乎向量的个数是线性空间的重要指标。
确实，从这个定理出发，玩弄一个小小的trick就能得到每个基元素数量相同的结论:若基的元素数不同，必有一个更大，以小者为主体运用定理就能导出矛盾。从这里产生了维数的概念。更进一步地，生成集只要元素数与维数相同，必然是一个基;含维数个数元素的线性无关集，也是一个基。
维数是线性空间子空间的本质特征
- 两子空间维数相等，两子空间相等。
拉格朗日插值法
$f_i(x)=\frac{(x-c_0)...(x-c_i-1)(x-c_i+1)...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_i-1)(c_i-c_i+1)...(c_i-c_n)}$
如上所示可以得到$f_1、f_2、f_3...f_n$一串函数的表达式，而且，可以证明它们线性无关。证明的关键是结合式子
$$
f_i(c_j)=
\begin{cases}
0& if&i\neq j\\
1& if&i= j
\end{cases}
$$
得到诸标量只能为0。
于是，线性无关的向量是其对应子空间的基。