学了线性空间，怎样用它求斐波那契数列的通项呢？

设有集合$A=\{(x_1,x_2...x_n,...)\quad$ $|n\in \mathbb{N},x_n+x_{n+1}=x_{n+2}\}$。该集合是一个建立在数域$R$上的线性空间。

任意一个分量都被它前面的两个分量唯一地决定。那么，只有最先的两个分量是完全不受约束的，这两个自由的分量互相之间也没有任何约束。所以该集合的基包含两个元素。我们希望能拿到的是通项，而最简单的有通项公式的数列是等差数列和等比数列。等差数列不能满足$x_n+x_{n+1}=x_{n+2}$的要求，我们会尝试一下等比数列。又因斐波那契数列第一项为$1$，假设有数列$1,q,q^2...$，满足$1+q=q^2$，便能得到满足$x_n+x_{n+1}=x_{n+2}$条件，所以能被集合$A$表达的等比数列。该方程也十分好解，易得$q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。所以可设$a_1=(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2},...)$,$a_2=(1,\frac{1-\sqrt{5}}{2},...)$，易见二者线性无关，其为线性空间的一组基。

• 这里的严格证明实在是不会写。留待补充，2022.3.10。

也就是说对于任意元素$x\in A$,$\exists$唯一 $m_1,m_2\in R$,使得$x=m_1a_1+m_2a_2$。
那么，对于能表达斐波那契数列的元素：
$$
x'=(1,1,\dots,x_n',\dots)
$$
亦有唯一的$m_1',m_2'\in R$，使得$x'=m_1'a_1+m_2'a_2$
计算方程组有：
$$m_1'+m_2'=1$$
$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}m_1'+\frac{1-\sqrt{5}}{2}m_2'=1$$
解得：
$$m_1'=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$m_2'=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}$$
对于$a_1,a_2$中任何一个，其第$n$个分量的值总是为对应的$q_1^{n-1},q_2^{n-1}$，则向量$x'$的第$n$个分量，换言之，斐波那契数列的第n项，写出来是:
$$x_n'=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10})(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}$$ $$+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}$$
这个式子很难化，不过你可以验证，它等于斐波那契的标准通项公式：
$$x_n'=\frac{1}{\sqrt{5}} \Big[ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \Bigr]$$