等价的两种定义
以下确界示例
若有实数集$S$，$S$的下界的集合$\frak{S}$。我们称$infS$是它的下确界。当：
① $\forall M\in \frak{S}$，$infS\geqslant M$。
② $\forall\epsilon>0，\exist s\in S$，使得$infS+\epsilon>s$
这两个定义应该是一开始学数分接触的东西。今天看定积分的达布刻画的时候又碰到它了。问题是：若有一数列趋向于$a$，数列所有项成集合$S$，那么这个集合的确界同$a$有什么关系？答案是$infS\leqslant a$，$supS\geqslant a$。说实在话，其实这个答案的证明和等价定义并没有直接关系。结合数列的性质用反证就出来了。不过，它多多少少还是有点形式上的相似性。第一种定义再平常不过了：诸下界中最大者即为下确界。直观地想，就是下确界不能再往大处移了；其它下界或许能移一点点，下确界是一点也不能动——怎么表达这个“一点也不能动呢”。这个东西和“极限”有着类似的直观，那么，想采取和极限$\epsilon-\delta$语言类似的形式，来严格地刻画它，当然很自然了。
2020.3.24
达布刻画
黎曼刻画是以 模(mesh) 为枢，直接利用极限刻画可积性；达布刻画则利用上达布和、下达布和、确界等概念，犹如上下两掌合一，刻画可积性。它们总体的思路都是无限分割函数“包裹”的小矩形，区别所在就在于“高”的选择。因为事实上并没有这么些小矩形，它们全出于人心的构造。黎曼随意选取“高”；而达布以最大最小值分别为高。除此以外，二者都是靠切细矩形得到确定值。对照看看，这岂不是很奇妙吗？随意选和选极值是一样的。或许我们可以说这是确界原理中体现的“极限性”？
$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n M(f,[x_k-x_{k-1}])(x_k-x_{k-1})$$
$$L(f,P)=\sum_{k=1}^n m(f,[x_k-x_{k-1}])(x_k-x_{k-1})$$
上者为上达布和，下者为下达布和。$M$，$m$表示的分别是函数$f$在某区间的最大、最小值。请注意，分划$P$到底是怎么分划，全看心情。所以你有无穷多的上下达布和，各划一集，因为归根结底它是数集，则必有上下确界,分别记为$U(f)$、$L(f)$。利用上下确界的定义就有$L(f)<U(f)$。
- 这里的形式和上下极限那里的证明法有种神秘的相似？
2022.3.25