今天在研究泰勒公式，用的材料是A.Ross的Elementary Analysis。他证明泰勒公式的思路是这样的，首先给出泰勒级数及其余项的意义，然后证明必有$\forall x,\exists y\in(c,x)$（c是特定的某点，拿来做近似的“原点”。而x则是变量）使得$R_n(x)=\frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x-c)^n$，就是说总存在某点离$x$不远，可以大差不差地拟合原函数，因为$R_n(x) = f(x)- \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^n$，再据前式就是$f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^n + \frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x-c)^n$。到了这一步，我们只是证明了对每个$x$，存在独特的一个点$y$能把$f(x)$写成类似泰勒级数的样子（因为只是有限项，所以只是类似而已）。每个$f^{(n)}(y)$都是独特的，就是说可能针对某些x，式子误差突然变得很大。或者针对某些阶数的$f^{(n)}(y)$，它的误差突然胜于前面任何阶数，这样一个公式是难以应用的。目前我们只是暂时找到了一种说话的方法，仍然在半途中。
我们平时说的泰勒公式就是$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^n +o(x)$，在这里面我们期望的性质是展开阶数越高，出来的式子越精确，这就是说余项要越小才好，也就是$\forall x,R_n(x)\rightarrow 0$。那么，这样的情形具有什么性质呢，针对在$(a,b)$上的$f(x)$，如果它任意阶数的$f^{(n)}(x)$都小于一固定的常数$C$，我们就可以说$\forall x,R_n(x)\rightarrow 0$。因为根据上一段所述：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x-c)^n\le\frac{C}{n!}\vert x-c\vert^n$$
而$\frac{\vert x-c\vert ^n}{n!}$是一致收敛于0，因此$R_n(x)$也如此。