如果我们手上有一个幂级数$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$，那么它的积分和微分形式可以分别写为：
$$
\int_0^x f(t) dt=\sum_{n=0
}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
$$
$$
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
$$
讨论这个问题好像有些弱智，因为这似乎只是求导公式和微积分原理的简单应用，但是事情并不是这样的。只有在多项式里我们直接应用，写出类似的式子。但这里我们讨论的是级数，级数是关于无穷的式子。$f(x_0)=\sum_{n=0}^\infty a_nx_0^n$代表的是一个极限而不是一个式子。谈论它的微分形式或者积分形式时不能直接把针对多项式的理论搬过来。针对无穷我们要在极限理论内谈论问题。不过多项式的微分积分形式多少给予我们启发，我们觉得幂级数的微分积分应该长得跟对应多项式差不多，这多少给予我们一点暗示，有个起码的方向。
具体来说。处理它的积分形式主要思路是把无限转换成有限来说话，利用一致收敛连续函数可以将积分和求极限操作互换的性质。让积分积的是有限的多项式。处理它的微分形式时，靠的是先写出$\int_0^x na_nx^{n-1}=f(x)-a_0$，然后根据微积分基本原理断言$f(x)$的微分就是$na_nx^{n-1}$，关键在于引入了积分，微的是积分形式，而面对积分形式求导时我们有微积分基本原理，不像直接面对幂级数那样手足无措。
证明这两个等式的意义在于它们为微分积分操作背书。因为$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$中$a_n$只是一连串的符号，代表着$x_n$的系数，但不表明具体的系数到底是什么。这就是说当我们面对$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$时，可以把$na_n$看成$a_{n-1}'$的系数，重新进行微分操作，积分同理。所以这两个式子并不是无关紧要的技术性定理。