如果想说$[a,b]$上的有界函数$f$是达布可积的，存在两种等价表述方式：

1. $\forall\epsilon>0$，存在$[a,b]$上的一分划$P$，对于它必有$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$。
2. $\forall\epsilon>0$，存在对应的$\delta>0$，使得对于任何模长$|P|<\delta$的划分$P$，必有$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$。

区别所在，就是前者说“存在一个分划，对于它必有...”，而后者说“存在一个$\delta>0$，对于模长小于$\delta$的分划，必有...”。在质上，一个断言存在分划，一个断言存在实数$\delta$，不同分划都要被该实数度量；在量上，前者断言存在一个分划成立，另一个则断言满足条件的所有分划成立。此处我想给出一种直观。

为什么成立？

第一种定义

达布可积被定义为“达布上和的下确界与下达布和的上确界相等”。确界这个词只有对集合才成立，而当我们谈“达布上下和的集合”时，谈的是无穷的分划对应的达布和集合。所谓达布上下和，又可以说是分别从“有余”和“不足”两个方面来粗放地描述函数和，画画图就能看出来。再就是，你可以想象一下，在无穷的分划中间是不是恰好有那么个分划，细到刚刚好的地步，使得它，这个分划，所对应的达布上下和之差小于那给定的正实数 $\epsilon$。如果真有这么个分划，那达布上下和的确界必须要同一——如果不同一，那它们之间天然就有差距，必然有$U>L$。那么随手取的一个$\epsilon:=\frac{U-L}{2}$，都是它们永远无法逾越的界限。

我们想要拿到手的式子是：
$$U(f,P)-L(f,P) < \epsilon$$

如上文所述的分划$P$之存在，既然和上下确界同一息息相关，就可以考虑用数学的语言把它们勾连在一起。承接上式，写一个：
$$\epsilon = U(f)+\frac{\epsilon}{2}-( L(f)-\frac{\epsilon}{2})$$

这样的形式令人想到确界的等价定义，故有：

存在$P_1$，使得$U(f,P_1)<U(f)+\frac{\epsilon}{2}$；存在$P_2$，使得$L(f,P_2)>L(f)-\frac{\epsilon}{2}$。

我们愿意把它们写成类似$U-L$的样式，看看能不能得到什么新的启发：

$U(f,P_1)-L(f,P_2)$ $<$ $U(f)-L(f)+\epsilon$ $=\epsilon$

这式子看起来和我们想要拿到手的差不多了，不过$P_1$、$P_2$是两个分划。如果这两个分划能变成一个分划就好了，这一个分划要是存在，肯定是因为达布和的某些性质，同$P_1$、$P_2$。

又，达布和有一个性质：
$P\subseteq Q$，$L(f,P)\leq L(f,Q)\leq U(f,Q)\leq U(f,P)$
确实，如果你从“不足”处来考察达布和，考察得越细($P\subseteq Q$，Q是更细的划分)，“不足”就越少，它越大($L(f,P)\leq L(f,Q)$)，也越接近真实的函数值的和；从“有余”来考虑也是同样一个道理。

这个性质的关键在“包含”二字上，这个性质如果要利用起来，$P_1$ 、 $P_2$都得“包含”在什么东西里面。随手就能造出来的一个类似东西是$P_1\cup P_2$。令其为$P$，看看能得出什么。

$U(f,P)-L(f,P)$ $\leq$ $U(f,P_1)-L(f,P_2)$
$$U(f,P)-L(f,Q)<\epsilon$$

这就是我们要找的东西。