直觉与系统学习

以前听顾青上课，他说数学家之所以要整这么多概念，是为了“打包次级概念”，方便思考。现代数学从集合论为地基建起整个数学的大厦，在这种观点下所有数学概念都能被拆解成集合及其中的元素。具体来说，如函数就是两个集合的元素间的对应，那么什么是对应关系呢，对应关系就是二元对的集合，那什么又是二元对呢，二元对$(a,b)$就是集合$\{ a,\{a,b\}\}$。如此，一个函数就可以表示为一个硕大无朋的集合。这当然也是对的，概念的确能使论证简洁，不需要写那么多东西。但这种观点没有看到简洁本身不构成一个目的，只是锦上添花的装饰。人们只会批评为了简洁而简洁，说它是“含糊不清”、“不知所云”。在每门学科中，每个概念都能被其它概念言说，概念和概念之间有千丝万缕的联系。这种联系要么是网状的，要么是塔形的。网状结构中概念与概念之间没有明显的依赖关系：供求定律可以籍由无差异曲线推出，也可以籍由消费者支付意愿推出。很难说哪个是最根本的概念；塔形结构中概念之间有强烈的依赖关系：实分析就是建立在实数理论上的，没了实数理论实分析就是无源之水无根之木。但网状和塔形的分别不是绝对的，它们更像是人思维发展的两个阶段。在开始，人的思维总是以感性的、偶然的、片面的东西为主，这些东西常常会互相打架：认为不撒谎可取，但是撒谎有好处时又觉得撒谎可取；喜欢自己的梦想，认为不顾一切追求梦想可取，发现追求梦想要碰到很多现实的困难又觉得还是“现实点好”；看到坚持自我终于完成自我实现的人，就觉得有自己的想法可取；但是碰到老师、上级、名人时，见到他们神气十足，心里不自觉已软下去几分，又觉得听听权威的也还很可取。在数学上有 $(-1)·(-1)=1$，教科书的教法是让人在数轴上考虑问题，一个数乘以负数在数轴上就仿若被反射了一般，反射两次自然就是回归原位。但为什么偏偏是要在数轴上考虑呢？或者我说负数乘负数是“亲上加亲”，应该发明一个“超负数”来指代它的结果。事实上没有“超负数”，但之所以没有不是像大学通行的教法解释的那样，说是因为从皮亚诺公理开始定义加推理可得负负得正。就数学的历史发展而论，是人们的实践需求要求负负得正，于是如此规定负数符号运算的规则（对数学合于实践感到惊讶，因而认为数学表达了更崇高的现实，实在是对数学史不大清楚的表现）。是在丰富多彩的实践中，意识逐渐形成一些模糊的概念论断指导生活。这些感性的概念论断是会互相打架的，意识选择尊崇一些，整饬一些，抛掉一些。逐步上升到理性阶段，在最后形成塔形的知识体系。不过凭什么要有选择地“尊崇”、“整饬”、“抛掉”呢，这只能诉诸于直觉，诉诸于意识中最精微最不可分最直接的部分。

在整个教育体系里流传的“学习要循序渐进”的想法，自然是对的——人岂能一口吃成个胖子。但是这个“序”被理解得太促狭。比如数学分析里要从$\epsilon-\delta$开始教起，再教极限的性质，教极限的四则运算，把数列极限和函数极限联系起来研究连续性等等。当然很合逻辑的顺序，但是不符合直觉的顺序（逻辑的顺序往往也没看起来那么大的价值。逻辑严密决定知识能不能留在人类文明中，但是逻辑本身不是人类创造知识的动力）。极限的epsilonque一点也不合直觉，人对极限的直觉一开始必然是“小到不能再小，一直小”，是“一尺之棰日取其半万世不竭也”，再从各种历史实践中上升到“无穷小”，上升到“极限”，最后再到epsilonque。要把学习的每一步踏得实在就要抓住每一步的直觉。而我越来越发现人是感情和理智两条腿走路的。不存在一个一应俱全对所有人管用的体系能够包打天下，能够囊括所有人每一步所需要的直觉。人只能在精神漫游中发现诸般直觉。呈现在实践中，那就是漫无边际地阅读，不用受既成的学科分野挟制，既不用受权威的评判，也不用担心肉体上的惩罚。当“循序渐进”被理解成“按照学校的规划”，“按照老师的规划”，“按照教材的规划”时，学习本身就被套上了三重枷锁，不可逾雷池一步。这和学习本身应有的大胆冒进、抗拒权威、自我发现差了又何止十万八千里，强烈的厌学情绪、抑郁情绪，极低的学习效率，实在只是自然结果。