$$
f(x) =
\begin{cases}
&x+2^{
\frac
{1}
{ \lfloor \frac{1}{x} \rfloor}
} -1&,x\in (-1,0)\cup(0,1)\\
&0&,x=0
\end{cases}
$$
该函数在 $(0,0)$ 连续，但是其反函数上的对应点却不连续。
$定理①:$ 数列$\{\mathscr{X}_n\}$中$\mathscr{X}_n \neq 0$，$\lim{\mathscr{X}_n}=\infty$,那么 $\lim{ \lfloor \mathscr{X}_n \rfloor}=\infty$。
因为$\mathscr{X}_n+1>\mathscr{X}_n\geqslant \lfloor \mathscr{X}_n \rfloor > \mathscr{X}_n-1$，那么
$\forall \epsilon>0,\quad \tilde{\epsilon}:=\epsilon+1>0 ,\exists N \in \mathbb N+,\quad$使得$\forall n>N,\vert\mathscr{X}_n\vert>\tilde{\epsilon}$。化简变形即为$-\epsilon>\mathscr{X}_n+1，\mathscr{X}_n-1>\epsilon$。可推出$\vert \lfloor \mathscr{X}_n \rfloor \vert>\epsilon$。
$\quad$
对任意数列$\{A_n\}（A_n\neq0）$若有 $\lim A_n=0$，那么 $lim \frac{1}{A_n}=\infty$。故得$\lim \lfloor \frac{1}{A_n} \rfloor =\infty(定理①)$。再据极限四则运算与指数函数的连续性，得到 $\lim (A_n+2^{ \frac{1}{ \lfloor \frac{1}{A_n} \rfloor} } -1)=0$。据归结原则可得：该函数在 $(0,0)$ 连续。
$\qquad$
$①当x_1,x_2\in(-1,0)或者x_1,x_2\in(0,1)$
不妨设$x_1<x_2$，因两者同号，我们有$\frac{1}{x_2}<\frac{1}{x_1}$,故$\lfloor \frac{1}{ x_2 } \rfloor \leqslant \lfloor\frac{1}{ x_1 }\rfloor$,因为$\lfloor\frac{1}{ x_2 }\rfloor,\lfloor\frac{1}{ x_1 }\rfloor$同号，所以$\frac{1}{\lfloor\frac{1}{ x_1 }\rfloor} \leqslant \frac{1}{\lfloor\frac{1}{ x_2 }\rfloor}$。据指数函数的单调性有$f(x_1)<f(x_2)$。
$②x_1 \in (-1,0),x_2\in (0,1)$
因为$\frac{1}{\lfloor\frac{1}{ x_1 }\rfloor} \in [-\frac{1}{2},0)$ , $x_1+2^{ \frac{1}{ \lfloor \frac{1}{x_1} \rfloor} } -1 < 0$。又因为$\frac{1}{\lfloor\frac{1}{ x_2 }\rfloor} \in (0,1]$ , $x_1+2^{ \frac{1}{ \lfloor \frac{1}{x_1} \rfloor} }-1>0$。那么$f(x_1) < f(x_2)$。
$③x_1\in(-1,0)，x_2=0$
据情形$②$显然得到$f(x_1)<f(x_2)$
$④x_1=0，x_2\in(0,1)$
据情形$②$显然得到$f(x_1)<f(x_2)$
综上所述,当$x_1,x_2\in (-1,1)$时，当$x_1<x_2$，那么$f(x_1) < f(x_2)$。那么函数在$(-1,1)$严格单调递增。可见该函数单射。
$\quad$
$\forall \tilde{\epsilon} >0$,使$x_0:=\frac{1}{\lceil \frac{1}{\tilde{\epsilon}+1} \rceil}$，因$\lceil \frac{1}{\tilde{\epsilon}+1} \rceil \geqslant \frac{1}{\tilde{\epsilon}+1}$，故$x_0\in (-\tilde{\epsilon},\tilde{\epsilon})\cap(-1,1)$。
$D:=(-\tilde{\epsilon},\tilde{\epsilon})\cap(-1,1)$。对任意包含于$D \cap (-\tilde{\epsilon},x_0)$趋向于$x_0$的数列$\{a_n\}$,有$\lim{f(a_n)}=x_0+2^{x_0}-1$；对任意包含于$D \cap (x_0,\tilde{\epsilon})$趋向于$x_0$的数列$\{b_n\}$，有$\lim{f(b_n)}=x_0+2^{\frac{x_0}{1-x_0}}-1$。则$f(x)在x_0$处存在左右极限，但是：
$$\lim_{x \to {x_0}^-}f(x) \neq \lim_{x \to {x_0}^+f(x)}$$
故$x_0$是$f(x)$的跳跃间断点。
也就是说，$f(x)$以零点为中心的任意邻域中都含有跳跃间断点。这对于$f(x)$的反函数来说，零点附近甚至不存在邻域。